Steigung der Steigung der Steigung - Mindfuck bei Ableitungen

Gerade eine schöne Frage erhalten:

ich verstehe folgendes nicht:

wenn die 1. Ableitung die Steigung angibt, dann ist die 2. Ableitung ja die Steigung der Steigung. Wie aber muss ich mir jetzt die Steigung der Steigung (mindfuck) jetzt vorstellen?

a>0 = TP

a<0 = HP

ok, aber warum?

Kurz daraufhin ging es weiter:

selbe frage wie bei den Extrema, wieso ist

a>0 = RL

a<0 = LR?

--> sonst legst du doch immer wert auf die logik dahinter, das warum es funktioniert zu verstehen. bei der feststellung ob HP/TP bzw WP = RL oder LR vernachlässigst du diesen aspekt irgendwie völlig(?)

so bin ich jetzt gezwungen wieder diese parts auswendig zu lernen, was ich dank dir bei ungefähr 99 % des rests nicht mehr machen musste.

Valider Punkt. Darauf lege ich ja wirklich Wert.

 

Mir scheint es aber nicht effizient sich diese zwei Sachen bzgl. Extrem- und Wendepunkten jedes mal kurz herzuleiten und vor allem eine Zumutung für die meisten!

Das logisch im Kopf zu haben (und haben zu wollen) ist super, versteht mich nicht falsch, aber mit zwei kleinen Eselsbrücken völlig ausreichend einfach zu wissen.

 

Wie dem auch sei. Meine Antworten möchte ich gern festhalten um später darauf zurückgreifen zu können, mal wieder einen Post geschrieben zu haben und überhaupt: Warum ein Links-Rechts-Wendepunkte in der dritten Ableitung negativ wird, habe ich durch das Beantworten der Frage erst jetzt, Jahre nach dem Abitur, durchdacht und verstanden.

Antwort Teil 1:

Schöne Frage. Stell dir x² vor.

Bei x = -5 ist die Steigung -10 (es geht also mies nach unten).

Bei x = -4 ist die Steigung -8 (geht immer noch nach unten, aber nicht mehr so krass)

Bei x = -1 ist die Steigung -2 (geht zwar immer noch nach unten, aber noch viel weniger krass)

Bei x = 0 ist die Steigung 0 (ist zwar an sich keine Steigung, aber zahlenmäßig ist 0 mehr als die -2 davor)

Bei x = 1 ist die Steigung 2 (jetzt geht's nach oben)

Bei x = 4 ist die Steigung 8 (geht immer noch nach oben. viel stärker sogar)

Bei x = 5 ist die Steigung 10 (geht nach oben, stärker als je zuvor)

Die Steigung war also ganz weit links stark negativ und wächst, ja steigt sogar könnte man sagen, die ganze Zeit, wenn man nach rechts geht.

Bei x² steigt die Steigung die ganze Zeit. Die Steigung der Steigung ist die ganze Zeit positiv.

Das sieht man an der zweiten Ableitung von x², nämlich f''(x) = 2. (Die Steigung der Steigung, manche sagen sogar Krümmung, ist bei x² durchgehend zwei.)

Ich hoffe das beleuchtet den Mindfuck ein wenig. Werde dazu vllt auch ein Video machen. Ist echt eine schöne Frage, danke!

Antwort Teil 2:

Hast recht. Ist ärgerlich, dass man das auswendig lernt. (Mit den Eselsbrücken aber kein Ding denke ich.)

Meine Antwort auf den anderen Kommentar lässt sich auch für die Wendepunkte anwenden. Ist nur noch eine Stufe mehr Mindfuck. 😉

Stell dir x³ vor.

Die Steigung ist links stark positiv, dann weniger, dann wieder mehr.

Die Steigung der Steigung nimmt bis x = 0 ab, dann wieder zu.

Bevor ich zum Steigung-Steigung-Steigung Schritt komme ein wichtiger Aspekt an der Stelle: die Steigung der Steigung nimmt ab, dann wieder zu. Sie nimmt erst stark ab (ist voll negativ), dann immer weniger schnell, letztlich sogar zu (und wird immer schneller).

Die Steigung der Steigung ist links stark negativ und wird immer "größer" (also erst weniger negativ, dann positiv).

Die Steigung der Steigung der Steigung wächst quasi die ganze Zeit, ist die ganze Zeit positiv. Das sieht man an der dritten Ableitung: f'''(x) = 3.

Wenn man sich das versucht klar zu machen, ergibt es Sinn die Steigung der Steigung "Krümmung" zu nennen.

Damit ist die 3. Ableitung die Steigung der Krümmung.

Auch sinnvoll sich zu merken: Linkskrümmung ist positiv (Beispiel: x²).

Ich hoffe das macht die Sache klarer. Hoffe.. 😉

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