Steigung der Steigung der Steigung - Mindfuck bei Ableitungen

Gerade eine schöne Frage erhalten:

ich verstehe folgendes nicht:

wenn die 1. Ableitung die Steigung angibt, dann ist die 2. Ableitung ja die Steigung der Steigung. Wie aber muss ich mir jetzt die Steigung der Steigung (mindfuck) jetzt vorstellen?

a>0 = TP

a<0 = HP

ok, aber warum?

Kurz daraufhin ging es weiter:

selbe frage wie bei den Extrema, wieso ist

a>0 = RL

a<0 = LR?

--> sonst legst du doch immer wert auf die logik dahinter, das warum es funktioniert zu verstehen. bei der feststellung ob HP/TP bzw WP = RL oder LR vernachlässigst du diesen aspekt irgendwie völlig(?)

so bin ich jetzt gezwungen wieder diese parts auswendig zu lernen, was ich dank dir bei ungefähr 99 % des rests nicht mehr machen musste.

Valider Punkt. Darauf lege ich ja wirklich Wert.

 

Mir scheint es aber nicht effizient sich diese zwei Sachen bzgl. Extrem- und Wendepunkten jedes mal kurz herzuleiten und vor allem eine Zumutung für die meisten!

Das logisch im Kopf zu haben (und haben zu wollen) ist super, versteht mich nicht falsch, aber mit zwei kleinen Eselsbrücken völlig ausreichend einfach zu wissen.

 

Wie dem auch sei. Meine Antworten möchte ich gern festhalten um später darauf zurückgreifen zu können, mal wieder einen Post geschrieben zu haben und überhaupt: Warum ein Links-Rechts-Wendepunkte in der dritten Ableitung negativ wird, habe ich durch das Beantworten der Frage erst jetzt, Jahre nach dem Abitur, durchdacht und verstanden.

Antwort Teil 1:

Schöne Frage. Stell dir x² vor.

Bei x = -5 ist die Steigung -10 (es geht also mies nach unten).

Bei x = -4 ist die Steigung -8 (geht immer noch nach unten, aber nicht mehr so krass)

Bei x = -1 ist die Steigung -2 (geht zwar immer noch nach unten, aber noch viel weniger krass)

Bei x = 0 ist die Steigung 0 (ist zwar an sich keine Steigung, aber zahlenmäßig ist 0 mehr als die -2 davor)

Bei x = 1 ist die Steigung 2 (jetzt geht's nach oben)

Bei x = 4 ist die Steigung 8 (geht immer noch nach oben. viel stärker sogar)

Bei x = 5 ist die Steigung 10 (geht nach oben, stärker als je zuvor)

Die Steigung war also ganz weit links stark negativ und wächst, ja steigt sogar könnte man sagen, die ganze Zeit, wenn man nach rechts geht.

Bei x² steigt die Steigung die ganze Zeit. Die Steigung der Steigung ist die ganze Zeit positiv.

Das sieht man an der zweiten Ableitung von x², nämlich f''(x) = 2. (Die Steigung der Steigung, manche sagen sogar Krümmung, ist bei x² durchgehend zwei.)

Ich hoffe das beleuchtet den Mindfuck ein wenig. Werde dazu vllt auch ein Video machen. Ist echt eine schöne Frage, danke!

Antwort Teil 2:

Hast recht. Ist ärgerlich, dass man das auswendig lernt. (Mit den Eselsbrücken aber kein Ding denke ich.)

Meine Antwort auf den anderen Kommentar lässt sich auch für die Wendepunkte anwenden. Ist nur noch eine Stufe mehr Mindfuck. 😉

Stell dir x³ vor.

Die Steigung ist links stark positiv, dann weniger, dann wieder mehr.

Die Steigung der Steigung nimmt bis x = 0 ab, dann wieder zu.

Bevor ich zum Steigung-Steigung-Steigung Schritt komme ein wichtiger Aspekt an der Stelle: die Steigung der Steigung nimmt ab, dann wieder zu. Sie nimmt erst stark ab (ist voll negativ), dann immer weniger schnell, letztlich sogar zu (und wird immer schneller).

Die Steigung der Steigung ist links stark negativ und wird immer "größer" (also erst weniger negativ, dann positiv).

Die Steigung der Steigung der Steigung wächst quasi die ganze Zeit, ist die ganze Zeit positiv. Das sieht man an der dritten Ableitung: f'''(x) = 3.

Wenn man sich das versucht klar zu machen, ergibt es Sinn die Steigung der Steigung "Krümmung" zu nennen.

Damit ist die 3. Ableitung die Steigung der Krümmung.

Auch sinnvoll sich zu merken: Linkskrümmung ist positiv (Beispiel: x²).

Ich hoffe das macht die Sache klarer. Hoffe.. 😉

Lineare Gleichungssysteme - Geht auch Mal?

In Klasse 8 kommen die Erklärungen zu den 3 Verfahren bezüglich linearen Gleichungssystemen mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten dran.

Zusammengefasst und in 8 Minuten erklärt, zum Beispiel so:

Nachdem ich (I  in II), (I=II) und (I+II) zusammenfassend als Abschluss erklärt hatte, kam eine, wie ich finde, sehr schön Frage:

„Geht auch Mal?“.

Ein klares „Ja!“ bzw. „Nein!“ gibt es nicht.

„Ja, aber ...“ wollte ich dem Schüler nicht geben. Darauf kann er selber kommen und hat mit dem Weg dahin sogar noch eine nützliche mathematische Erfahrung gemacht.

Also war meine Antwort: „Probier es aus.“.

Ein Tag später kam er auch mich zu und hatte die Antwort: „Kann man machen, aber es bringt mir [für das Finden der Variablen] nichts.“.

Stimmt. Hat er gut gemacht. Die Einschränkungen bezüglich der Null habe ich ihm erst noch erspart und freue mich schon darauf ihn bei Gelegenheit selbst darauf kommen zu lassen.

Mein Mathelehrer kann nicht erklären

Die Aussage, der Lehrer könne nicht erklären, habe ich schon oft gehört.  Schade eigentlich, wenn die einen Schüler einen Lehrer haben, der erklären kann, und andere nicht.

Voll unfair obendrein.

Schlecht erklärende Lehrer

Es gibt sowohl junge Lehrer, die andauernd durcheinander kommen, als auch ältere Lehrer, die fast einschlafen beim Erklären. Auch Lehrer, die einfach keine Lust haben.

Unschön.

Nicht zuhörende Schüler

Es gibt aber auch Klassen pubertierender Schüler, die alles mögliche im Kopf haben und nicht zuhören. Wenn es dann an Übungen geht, heißt es, es wäre noch nicht einmal erklärt worden. Geduldig merkt der Lehrer bei der zweiten Erklärungen dann womöglich, dass wieder nicht zugehört wird. Stattdessen aufs Handy geschaut oder mit dem Tischnachbar geredet.

Frustrierend.

Von allem Etwas

Mal sind's die Lehrer, mal die Schüler und manchmal kommt beides gleichzeitig aufeinander. Der Großteil der Lehrer, so vermute ich, erklärt gut und der Großteil der Schüler, vermutlich, hört aktiv zu und möchte lernen.

Jede Situation ist anders. Jeder kann mal einen schlechten Tag haben. Jeder die Schuld zu schnell auf andere schieben.

 

Dramatisch finde ich es nicht. Gab es schon immer. Wird es immer geben. Ist halt so. Oder nicht?

Nachhelfen vs. Aufsicht

Wofür wollen Sie Nachhilfe?

Hat Ihr Kind etwas nicht verstanden, klappt es mit dem Lehrer nicht oder gab es eine längere Krankheit?

Dann muss jemand nachhelfen!

 

Ist Ihr Kind faul, macht nie etwas und kümmert sich Null um Schule?

Dann muss niemand nachhelfen, sondern Ihr Kind regelmäßig beaufsichtigen!

 

Wichtiger Unterschied, wenn Sie entscheiden Ihrem Kind Nachhilfe zu zahlen!