Steigung der Steigung der Steigung - Mindfuck bei Ableitungen

Gerade eine schöne Frage erhalten:

ich verstehe folgendes nicht:

wenn die 1. Ableitung die Steigung angibt, dann ist die 2. Ableitung ja die Steigung der Steigung. Wie aber muss ich mir jetzt die Steigung der Steigung (mindfuck) jetzt vorstellen?

a>0 = TP

a<0 = HP

ok, aber warum?

Kurz daraufhin ging es weiter:

selbe frage wie bei den Extrema, wieso ist

a>0 = RL

a<0 = LR?

--> sonst legst du doch immer wert auf die logik dahinter, das warum es funktioniert zu verstehen. bei der feststellung ob HP/TP bzw WP = RL oder LR vernachlässigst du diesen aspekt irgendwie völlig(?)

so bin ich jetzt gezwungen wieder diese parts auswendig zu lernen, was ich dank dir bei ungefähr 99 % des rests nicht mehr machen musste.

Valider Punkt. Darauf lege ich ja wirklich Wert.

 

Mir scheint es aber nicht effizient sich diese zwei Sachen bzgl. Extrem- und Wendepunkten jedes mal kurz herzuleiten und vor allem eine Zumutung für die meisten!

Das logisch im Kopf zu haben (und haben zu wollen) ist super, versteht mich nicht falsch, aber mit zwei kleinen Eselsbrücken völlig ausreichend einfach zu wissen.

 

Wie dem auch sei. Meine Antworten möchte ich gern festhalten um später darauf zurückgreifen zu können, mal wieder einen Post geschrieben zu haben und überhaupt: Warum ein Links-Rechts-Wendepunkte in der dritten Ableitung negativ wird, habe ich durch das Beantworten der Frage erst jetzt, Jahre nach dem Abitur, durchdacht und verstanden.

Antwort Teil 1:

Schöne Frage. Stell dir x² vor.

Bei x = -5 ist die Steigung -10 (es geht also mies nach unten).

Bei x = -4 ist die Steigung -8 (geht immer noch nach unten, aber nicht mehr so krass)

Bei x = -1 ist die Steigung -2 (geht zwar immer noch nach unten, aber noch viel weniger krass)

Bei x = 0 ist die Steigung 0 (ist zwar an sich keine Steigung, aber zahlenmäßig ist 0 mehr als die -2 davor)

Bei x = 1 ist die Steigung 2 (jetzt geht's nach oben)

Bei x = 4 ist die Steigung 8 (geht immer noch nach oben. viel stärker sogar)

Bei x = 5 ist die Steigung 10 (geht nach oben, stärker als je zuvor)

Die Steigung war also ganz weit links stark negativ und wächst, ja steigt sogar könnte man sagen, die ganze Zeit, wenn man nach rechts geht.

Bei x² steigt die Steigung die ganze Zeit. Die Steigung der Steigung ist die ganze Zeit positiv.

Das sieht man an der zweiten Ableitung von x², nämlich f''(x) = 2. (Die Steigung der Steigung, manche sagen sogar Krümmung, ist bei x² durchgehend zwei.)

Ich hoffe das beleuchtet den Mindfuck ein wenig. Werde dazu vllt auch ein Video machen. Ist echt eine schöne Frage, danke!

Antwort Teil 2:

Hast recht. Ist ärgerlich, dass man das auswendig lernt. (Mit den Eselsbrücken aber kein Ding denke ich.)

Meine Antwort auf den anderen Kommentar lässt sich auch für die Wendepunkte anwenden. Ist nur noch eine Stufe mehr Mindfuck. 😉

Stell dir x³ vor.

Die Steigung ist links stark positiv, dann weniger, dann wieder mehr.

Die Steigung der Steigung nimmt bis x = 0 ab, dann wieder zu.

Bevor ich zum Steigung-Steigung-Steigung Schritt komme ein wichtiger Aspekt an der Stelle: die Steigung der Steigung nimmt ab, dann wieder zu. Sie nimmt erst stark ab (ist voll negativ), dann immer weniger schnell, letztlich sogar zu (und wird immer schneller).

Die Steigung der Steigung ist links stark negativ und wird immer "größer" (also erst weniger negativ, dann positiv).

Die Steigung der Steigung der Steigung wächst quasi die ganze Zeit, ist die ganze Zeit positiv. Das sieht man an der dritten Ableitung: f'''(x) = 3.

Wenn man sich das versucht klar zu machen, ergibt es Sinn die Steigung der Steigung "Krümmung" zu nennen.

Damit ist die 3. Ableitung die Steigung der Krümmung.

Auch sinnvoll sich zu merken: Linkskrümmung ist positiv (Beispiel: x²).

Ich hoffe das macht die Sache klarer. Hoffe.. 😉

Mathe lernen heißt nicht Videos schauen

Mit Youtube gibt es eine Unmenge an Mathe-Erklärvideos, die man sich vor einer Arbeit anschauen kann.

Das ist schön so und hilft, wenn man etwas vergessen oder noch nicht verstanden hat.

Beim Ansehen eines Videos kann man sich bereits erlentes Wissen wieder ins Gedächtnis rufen oder zu neuem Wissen einen Aha-Effekt bekommen.

Man kann etwas verstehen, aber darf nicht vergessen das Verstandene selbstständig in Aufgaben anzuwenden.

Am Tag vor einer Klausur 4 Stunden Videos zum Thema anzusehen beruhigt eher das schlechte Gewissen als die Note zu verbessern.

Bist du Lehrer?

Ich habe nicht auf Lehramt studiert und bin deshalb kein Lehrer im klassischen Sinne.

Ich unterrichte kleine Gruppen und einzelne Schüler seit mehr als 5 Jahren.

Ich bin Nachhilfe-Lehrer, wenn man so will.

Durch meine Nachhilfe komme ich oft in die Gelegenheit Schülern mit verschiedenen Voraussetzungen und Ansprüchen die Themen der Mathematik zu erklären.

Diese Erklärungen sind Grundlage für meine Erklärungen auf Youtube und den Arbeitsblättern auf koonys.de.

Sind Schulbücher überflüssig geworden?

Keine Ahnung, aber ich habe heute in zwei Mathematikbüchern (einmal 7. , einmal 8. Klasse) vom gleichen Verlag, exakt die gleichen Seiten zu einem Thema (Boxplot) gesehen.

Ist an sich ok. Man braucht schließlich auch Wiederholung und hat nicht die Bücher aus allen Klassenstufen zu Hause parat.

Redundant ist es dennoch.

 

Ich habe mich gefragt, ob sich da nicht etwas mit diesen ganzen tollen neuen Technologien, die wir haben, verbessern lässt und halte die Idee darüber nachzudenken hiermit an dieser Stelle fest. :)

Mathematik Apps

Als einleitende Übung zum Lösen von Gleichung und Auflösen von Klammern schrieb ich eine Gleichung an die Tafel.

Ein Schüler zeigte mir seine Mathe App, die für ihn eh alle Aufgaben lösen würde und er deshalb Mathe nicht mehr bräuchte.

„Ok.“ meinte ich „Dann löse die Aufgabe eben mit der App.".

 

Zunächst wusste er nicht in welchem Thema er suchen muss.

Nachdem ich ihm sagte in welchem Thema er fündig werden würde, stellte er fest die Aufgabe doch nicht mit der App lösen zu können.

Da gehen nämlich nur ganz bestimmte Aufgabentypen.

Zum Beispiel: 0 = 3x² - 2x + 9, nicht aber: (x-3)²-3(x-3)=3-(x-3).

 

Von Wolfram Alpha werde ich ihm später erzählen.

Die 3en in meiner gestellten Aufgabe kann man im Übrigen auch durch andere Zahlen ersetzen und kommt dennoch auf zwei ganzzahlige Lösungen. Immer.

Lineare Gleichungssysteme - Geht auch Mal?

In Klasse 8 kommen die Erklärungen zu den 3 Verfahren bezüglich linearen Gleichungssystemen mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten dran.

Zusammengefasst und in 8 Minuten erklärt, zum Beispiel so:

Nachdem ich (I  in II), (I=II) und (I+II) zusammenfassend als Abschluss erklärt hatte, kam eine, wie ich finde, sehr schön Frage:

„Geht auch Mal?“.

Ein klares „Ja!“ bzw. „Nein!“ gibt es nicht.

„Ja, aber ...“ wollte ich dem Schüler nicht geben. Darauf kann er selber kommen und hat mit dem Weg dahin sogar noch eine nützliche mathematische Erfahrung gemacht.

Also war meine Antwort: „Probier es aus.“.

Ein Tag später kam er auch mich zu und hatte die Antwort: „Kann man machen, aber es bringt mir [für das Finden der Variablen] nichts.“.

Stimmt. Hat er gut gemacht. Die Einschränkungen bezüglich der Null habe ich ihm erst noch erspart und freue mich schon darauf ihn bei Gelegenheit selbst darauf kommen zu lassen.

Bildungssystem für alle - nicht nur für Kinder

Man spricht bezüglich des Bildungssystems immer von den Kindern.

Das stört mich.

Lebenslang lernt man doch. Jeder Mensch. Der Fokus liegt jedoch auf den ersten Lebensjahren. Ist das nicht zu kurz gedacht?

Die Diskussion über das Bildungssystem muss doch auch Erwachsene mit einbeziehen. Ein lebenslanger Plan für das Lernen, Bilden und die Erziehung eines jeden Menschen sollte doch das Ziel sein.

Mein Mathelehrer kann nicht erklären

Die Aussage, der Lehrer könne nicht erklären, habe ich schon oft gehört.  Schade eigentlich, wenn die einen Schüler einen Lehrer haben, der erklären kann, und andere nicht.

Voll unfair obendrein.

Schlecht erklärende Lehrer

Es gibt sowohl junge Lehrer, die andauernd durcheinander kommen, als auch ältere Lehrer, die fast einschlafen beim Erklären. Auch Lehrer, die einfach keine Lust haben.

Unschön.

Nicht zuhörende Schüler

Es gibt aber auch Klassen pubertierender Schüler, die alles mögliche im Kopf haben und nicht zuhören. Wenn es dann an Übungen geht, heißt es, es wäre noch nicht einmal erklärt worden. Geduldig merkt der Lehrer bei der zweiten Erklärungen dann womöglich, dass wieder nicht zugehört wird. Stattdessen aufs Handy geschaut oder mit dem Tischnachbar geredet.

Frustrierend.

Von allem Etwas

Mal sind's die Lehrer, mal die Schüler und manchmal kommt beides gleichzeitig aufeinander. Der Großteil der Lehrer, so vermute ich, erklärt gut und der Großteil der Schüler, vermutlich, hört aktiv zu und möchte lernen.

Jede Situation ist anders. Jeder kann mal einen schlechten Tag haben. Jeder die Schuld zu schnell auf andere schieben.

 

Dramatisch finde ich es nicht. Gab es schon immer. Wird es immer geben. Ist halt so. Oder nicht?

Der schlimmste Fehler von Eltern

Als Elternteil möchte man nur das Beste für sein Kind. Das ist klar. Zu viel des Guten ist aber, wie so oft, schädlich. Am schwersten ist es herauszufinden, ab wann man seinem Kind nicht mehr hilft sondern nur noch schadet.

 

Es geht hier um Fehler, die hauptsächlich im Vorschulalter gemacht werden. Eltern wollen ihren Kindern helfen, wo es nur geht, und das ist der Fehler. Jeder Mensch muss lernen zu "struggeln", also zu kämpfen und sich bei Problemen durchzuringen.

Niemand kann sich an "Struggle" gewöhnen, wenn er nie "strugglen" muss. Man muss das Glücksgefühl bei einem Aha-Moment kennen lernen.

 

In jungen Jahren werden die Weichen gestellt, wie man zu diesem Struggle, zu diesem inneren Kampf, steht. Entweder man lernt sich durch Probleme zu beißen oder man gewöhnt sich daran einfach aufzugeben ("Ist mir zu schwer. Macht Mama.").

Der schlimmste Fehler ist es, Kinder nicht struggeln zu lassen. In jungen Jahren kann das am besten geübt werden:

Sobald ein Kind zählen kann, kann es zählen wie viele Teller zum Essen benötigt werden. Liegt es falsch, muss es halt nochmal zählen. Ohne Druck. Einfach nochmal zählen. Ist ja nicht schlimm, wenn man sich verzählt hat. Wieder falsch? Dann zähl doch mal laut. Man merkt dann, wo der Fehler liegt und kann dann zusammenzählen. Endlich richtig? "Toll gemacht!".